旱猫捉水老鼠 (转帖)

有一个圆形的湖，直径100米。一只老鼠在湖心处游泳，岸边来了一只猫。
猫很饿啊，到嘴边的美味自然不会放过，可是猫不会游泳，只好绕着湖岸追老鼠跑。猫的速度是10m/s，那么，老鼠游泳速度至少要多少才能安全逃上岸呢？

　
解法一：
　
　　设老鼠的游泳速度为ｘ（m/s）；老鼠从圆心处开始沿着背向猫的一条半径往岸边游。老鼠需要游过的路程是50米，所花的时间是50/x；猫需要跑过的路程是50π米，所花的时间是50π/10；列不等式：
　
　　　　50/x＜50π/10　，
　
　　解不等式，得：ｘ＞10/π＝3.18（m/s）。
　　老鼠游泳速度至少要快于3.18（m/s），才能安全逃上岸。
　
　　这肯定不是最好的答案。老鼠的游泳速度还可以比3.18（m/s）更小。



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解法二：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r（当然，不一定要做整个圆周运动，只要绕着圆心就行）。列方程：
　
　　　　　rπ/x=50π/10 .
　
　　然后，老鼠从Ｃ点径直往岸边的Ａ点游，力争先于猫到达Ａ点．列不等式：
　
　　　　　(50-r)/x＜50π/10

　　联立二式解得：x＜10/(π+1)≈2.4145（m/s）

还有比这更小速度的方案.
附图:
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解法三：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r.列方程：
　
　　　　　rπ/x=50π/10 .
　
　　然后，老鼠从Ｃ点不再是径直往岸边的Ａ点游，而是沿小圆的切线往岸边的Ｄ点游（当然要看猫跑的方向），力争先于猫到达Ｄ点。可知ＣＤ线段长为：√(R^2-r^2)；ＣＤ弧长为：arccos((√R^2-r^2)/R)。列不等式：
　
　　　　　(50^2-r^2)/x＜50(π+arccos(√(50^2-r^2)/50)/10.

　　联立二式即可解得x的值。但是我不会解，因为它包含有反三角函数。有人用数值解法解出，老鼠的速度为ｘ＞2.1723m/s。

　　不用担心猫会转方向，因为猫和老鼠之间的距离在缩短，猫改变方向只会更有利于老鼠。

　　可以肯定，这个答案还不是最优的。

　　我在8楼的不等到号写反了，谢谢9楼朋友的指正！
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解法三：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r.列方程：
　
　　　　　rπ/x=50π/10 .
　
　　然后，老鼠从Ｃ点不再是径直往岸边的Ａ点游，而是沿小圆的切线往岸边的Ｄ点游（当然要看猫跑的方向），力争先于猫到达Ｄ点。可知ＣＤ线段长为：√(R^2-r^2)；ＣＤ弧长为：arccos(√(R^2-r^2)/R)。列不等式：
　
　　　　　√(50^2-r^2)/x＜50(π+arccos(√(50^2-r^2)/50)/10.

　　联立二式即可解得x的值。但是我不会解，因为它包含有反三角函数。有人用数值解法解出，老鼠的速度为ｘ＞2.1723m/s。





回答24楼：
　　你说：“猫可以反向跑”。但是，别忘了：老鼠也可以反向游。只不过老鼠不是原路返回，而是转过一个方向，继续往岸边游。
　　请看解法二和解法三的前半部分：老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大 圆（水池岸上）一周所花的时间，即rπ/x=50π/10。此时，猫和老鼠的角速度相等。也就是说，在相同的时间内，猫和老鼠围绕圆心转过的角度相等，两 者相对所夹的圆心角始终为180度保持不变。此时，若猫反向跑，老鼠也可以反向游，两者相对所夹的圆心角始终为180度保持不变。这时，老鼠离岸边的距离 为50-r。
　　如果老鼠在某一时候，不再作圆周运动，而是沿小圆的切线方向从Ｃ点往Ｄ点游，此时，因为老鼠的旋转半径增大，而且运动方向与圆周产生一定夹 角，因此，老鼠此时的角速度小于猫的角速度，猫和老鼠之间所夹的圆心角（猫追赶老鼠方向的圆心角，即图左边ＢＡ弧）在减小，也就是说，猫和老鼠之间的距离 在缩短。
　　如图：当老鼠沿切线ＣＤ方向游到某一点Ｆ时（注意：这个Ｆ点哪怕是游出Ｃ点一点点），老鼠游过的圆心角为∠COF（即∠COI），而猫此时 的角速度大于老鼠的角速度，那么猫跑过的圆心角∠BOG就会大于∠COI。此时，猫和老鼠之间的圆心角∠GOI就小于180度。所以说，“不用担心猫会转 方向，因为猫和老鼠之间的距离在缩短，猫改变方向只会更有利于老鼠。”
　　如果猫硬要一意孤行，掉转方向往回跑。那么，当猫跑到与Ｆ点相对于圆心的Ｈ点时，老鼠也可以改变方向（但不是原路返回），以ＯＩ为对称轴，沿ＦＤ的对称线ＦＩ往岸边游。
　　不知我说清楚了没有？
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逃脱方案：

老鼠先向右走dx，顺带一个比dx还小得多的dy.

1.若猫向右走k倍的dx
　则老鼠向左走dx，顺带一个比dx还小得多的dy.

　(1)若猫继续向右走k倍的dx
　　 则老鼠向左走dx，顺带一个比dx还小得多的dy.

　　 ①若猫不打算回头了，一直向右走
　　 　则老鼠一直向左走
　　 　结果：老鼠沿切线逃走，猫沿劣弧追.

　　 ②若猫回头向左走k倍的dx
　　 　则老鼠也回头向右走dx，顺带一个比dx还小得多的dy.
　　 　结果：经过这么一左一右一折腾，猫相当于静止不动，老鼠白赚了两个dy.

　(2)若猫回头向左走k倍的dx
　　 则老鼠也回头向右走dx，顺带一个比dx还小得多的dy.
　　 结果：经过这么一左一右一折腾，猫相当于静止不动，老鼠白赚了两个dy.

　　(分析到这里，Fans忍不住骂一句：傻猫你就尽管换方向吧，老鼠凭着微不足道的dy不知不觉就逃脱了.)

2.若猫向左走k倍的dx
　情况类似，不再敷述.


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回答: 证明在这里(revised) 由 竞选 于 2008-10-19 18:00:14
定义S1为：如果老鼠的速度小于或等于S1，则老鼠会被猫抓住，而当老鼠的速度大于S1时，老鼠可安全逃离此圆湖。这样定义的S1是存在的。

现在来证明：不存在这样一个老鼠的最小的速度S2使得老鼠能安全逃离此湖。

用反证法：假设这样的S2存在，则S2 > S1。定义S3=(S1+S2)/2，则从S3>S1及S1的定义知老鼠的速度为S3时老鼠可以安全逃脱。

又从S3

简而言之，就是：大于S1的最小实数是不存在的。